КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Каждый результат опыта представляет собой случайную величину, а объективные закономерности проявляются только во всей совокупности результатов измерения. Поэтому выводы делаются по результатам обработки всей совокупности экспериментальных данных, а не по отдельным значениям, которые являются случайными. Для уменьшения влияния случайного события исходные данные объединяются в группы, что достигается путем составления корреляционной таблицы (см. табл.). Такая таблица содержит интервалы (или их середины) значений двух признаков — У и X, а также частоту появлений значений X и Y [m_ij(х, у)] в соответствующем интервале этих значений. Эти частоты, подсчитанные по результатам опыта, представляют собой практическую оценку вероятности совместного появления значений X и Y конкретного интервала. Построение корреляционной таблицы является первым этапом обработки исходной информации. Построение корреляционных таблиц и их дальнейшую полную обработку осуществляют быстро на универсальных или специализированных ЭВМ (см. Электронная вычислительная машина). По сгруппированным данным корреляционной таблицы рассчитывают эмпирические характеристики уравнения и тесноты связи. Для определения уравнения связи между Y и X рассчитывают средние значения признака Y в каждом интервале признака X. Т. о. получают для каждого i-го интервала значение Yxi, соединение которых для всех i-интервалов дает эмпирическую линию регрессии, характеризующую форму связи признака Y с признаком X в среднем — график функции Yx= f(x). Если бы между признаками Y и X существовала однозначная связь, уравнения связи было бы достаточно для решения практических и теоретических задач, т. к. с его помощью всегда можно определить значение признака Y, если задано значение X. На практике же связь между Y и X не является однозначной, эта связь является случайной и одному значению X соответствует ряд значений Y. Поэтому необходима еще одна характеристика, измеряющая силу, тесноту связи между Y и X. Такими характеристиками являются дисперсионное (корреляционное) отношение ηух и коэффициент корреляции ryx. Первая из этих величин служит характеристикой тесноты связи между Y и X в произвольной функции f, а ryx — используется только в случае, когда f является линейной функцией.

Величины ηyx и ryx также просто определяются по корреляционной таблице. Расчет обычно ведут в следующем порядке: определяют средние значения обоих признаков X и Y, их средние квадратические отклонения σx и σy, а затем ηxy по формуле:

и ryx по формуле:

где n — общее число опытов, Xcpi — среднее значение X i-го интервала, Ycpj — среднее значение Y j-го интервала, k, l — количество интервалов признаков X и Y соответственно, mi(x) — частота (количество) значений Xcpi. Количественными характеристиками точности определения ηyx и ryx служат их средние квадратические отклонения, которые равны

Значения коэффициента η лежат в пределах между нулем и единицей (0=<ηyx=<1). Если ηyx= 0 (рис., а), то это свидетельствует о том, что признаки Y и X недисперсированы, т. е. регрессия Yx = f(x) не дает связи между признаками Y и X, а при ηyx = 1 существует однозначная связь между Y и X (рис., б, ж). Для ηyx<1 признак Y только частично определяется признаком X, и необходимо изучение дополнительных признаков для повышения достоверности определения Y (рис., г, д, е, и).

Значение коэффициента r лежит в пределах между —1 и +1 (—1=<ryx=<1). Когда ryx= 0 (рис., а, ж), то между признаками Y и Z не существует линейной зависимости, т. е. они не коррелированы. Если ryx = +1 или ryx = —1 (рис. б, в), то между Y и X существует однозначная линейная зависимость и по заданному значению признака X можно определить признак Y. При этом при ryx = +1 связь между Y и X прямо пропорциональна (с ростом X растет и Y), а при ryx = —1 — обратнопропорциональна (Y уменьшается с ростом X). Когда ryx =< +1 (рис., г, д, е), признак Y только частично определяется признаком X и повышение достоверности определения Y может быть достигнуто только за счет включения в рассмотрение дополнительных связанных с Y признаков. Определение величин ryx и ηyx для признаков X и У, суммированных в корреляционной таблице, приведенной выше, показывает, что величины коэффициента корреляции (ryx) и дисперсионного отношения (ηyx) приблизительно равны 0,5, соответствуя, т. о., графическому изображению на рис., д, т. е. прослеживается линейная зависимость между признаками X и Y. Вместе с тем для уточнения характера связи между этими признаками требуется проведение дополнительных наблюдений (обследований). В случае нелинейной регрессии [Yx = f(x)] коэффициент корреляции занижает действительную тесноту связи между признаками Y и X (рис., и) и в этом случае необходимо пользоваться дисперсионным отношением ηyx.

Многомерный корреляционный анализ — определение уравнения и тесноты связи в случаях, когда число изучаемых признаков больше двух. Так, если Y является сложным признаком и его исход зависит от появления множества признаков Х1, Х2, ..., Хn, то, по экспериментальным данным, должны быть определены: а) уравнение связи признака Y с совокупностью признаков Х1, Х2,..., Хn, т.е. Yx1x2...xn = F(x1, x2...,xn) ; б) теснота связи между Y и совокупностью X1, Х2,..., Хn.

Предварительная обработка результатов наблюдения при многомерном К. а. заключается в том, что для каждой пары признаков определяются значения дисперсионных отношений ηyxi (i = 1,2,..., n) и ηxixj (i!=j) коэффициентов корреляции ryxi и rxixj, а также парные регрессии Yxi = fi(xi). По этим данным затем определяются уравнения множественной регрессии Yx1x2...xn = F (x1,x2,...,xn), множественное дисперсионное отношение ηyx1x2...xn и множественный коэффициент корреляции Ryx1x2...xn. Уравнение множественной регрессии дает возможность определить значение признака Y по совокупности значений X1, Х2, ..., Xn, т. е. при наличии этого уравнения можно прогнозировать значения Y по результатам конкретных значений полученной совокупности (напр., результатов анализа по признакам X1, Х2...Хn). Значение ηyx1x2...xn используется в качестве характеристики тесноты связи между Y и совокупностью признаков Х1, Х2, ...Xn для произвольной функции F, a Ryx1x2...xn — для случая, когда функция F линейна. Коэффициенты ηyx1x2....xn и Ryx1x2...xn принимают значения между нулем и единицей. Включение в рассмотрение при многомерном К. а. дополнительных признаков дает возможность получить значения ηyx1x2...xn, Ryx1x2...xn ближе к единице и таким образом повысить точность прогноза признака Y по множественному уравнению регрессии.

В качестве примера рассмотрим результаты парного К. а., а также уравнение множественной регрессии и множественный коэффициент корреляции между признаками: Y — устойчивый псевдопарез, X1 — латерализация моторного дефекта в конечностях справа, Х2 — то же в конечностях слева, Х3 — вегетативные кризы. Значения дисперсионных отношений и коэффициентов парной корреляции для них будут соответственно ηyx1 = 0,429, ηyx2 = 0,616, ηyx3 = -0,334, a ryx1 = 0,320, ryx2 = 0,586, ryx3 = -0,325. По уравнению множественной линейной регрессии Yх1х2х3 = 0,638 x1 + 0,839 x2 — 0,195 x3. Коэффициент множественной корреляции будет выражаться величиной Ryx1x2x3 =0,721. Из примера видно, что по данным Х1, Х2 и Х3 с достаточной для практики точностью можно прогнозировать устойчивый псевдопарез.

Методы К. а. дают также возможность получить динамические характеристик и. В этом случае изучаемые признаки (напр., ЭКГ, ЭЭГ и т. д.) рассматриваются как случайные функции Y(t) и Х(t). По результатам наблюдения над этими функциями также определяются две важнейшие характеристики: а) оценка оператора связи (математического уравнения) между Y (t) и X(t); б) оценка тесноты связи между ними. В качестве характеристик тесноты связи принимаются дисперсионные и корреляционные функции случайных функций Y (t) и X(t). Эти функции представляют собой обобщение дисперсионных отношений и коэффициентов корреляции. Так, нормированная взаимная дисперсионная функция ηyx(t) каждого фиксированного значения t представляет собой дисперсионное отношение между значениями признаков Y (t) и Х(t). Аналогично нормированная взаимная корреляционная функция Ryx(t) представляет собой для каждого фиксированного значения t коэффициент корреляции между признаками Y(t) и X(t). Характеристика линейной связи (зависимости) для одной и той же исследуемой величины в различные моменты времени носит название автокорреляции.

К. а. является одним из методов решения задачи идентификации, нашедшей широкое распространение при получении математических моделей и автоматизации мед.-биол, исследования и лечения.

См. также Эвристические методы.

Библиография: Вычислительные системы и автоматическая диагностика заболеваний сердца, под ред. Ц. Касереса и Л. Дрейфуса, пер. с англ., М., 1974; Гутман С. Р. О двух моделях электроэнцефалограммы, сходящихся к нормальному случайному процессу, в кн.: Управление и информ. процессы в живой природе, под ред. В. В. Ларина, с. 205, М., 1971; Заславская Р. М., Перепел-кин Е. Г. и Ахметов К. Ж. Корреляционные связи между показателями гемокоагуляции и липидного обмена у больных .стенокардией в течение суток, Кардиология, т. 17, № 6, с. 111, 1977; К р а м e р Г. Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1975; Пастернак Е. Б. и др. Исследование электрической активности предсердий при мерцательной аритмии с помощью приборного корреляционного анализа, Кардиология, т. 17, Хя 7, с. 50, 1977; Синицын Б. С. Автоматические корреляторы и их применение, Новосибирск, 1964, библиогр.; У р-б а х В. Ю. Статистический анализ в биологических и медицинских исследованиях, М., 1975, библиогр.

В. Н. Райбман, Н. С. Райбман.