ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ — раздел математической статистики, объединяющий методы и модели, обеспечивающие возможность компактного (сжатого) представления эмпирической информации о различных явлениях и событиях. Модели факторного анализа базируются на представлении о том, что наблюдаемые параметры являются косвенными характеристиками изучаемых объектов, а на деле существует относительно небольшое число (т) внутренних (скрытых) факторов, определяющих значения наблюдаемых параметров (их число — п). При этом число т намного меньше числа п. Задачей факторного анализа является выражение наблюдаемых параметров в виде линейных комбинаций факторов, а также (при необходимости) в виде некоторых дополнительных величин. Определяемые факторы обычно хорошо интерпретируются как новые существенные характеристики изучаемых объектов.

В самом факторном анализе можно выделить метод главных компонент (компонентный анализ) и методы собственно факторного анализа.

Задача компонентного анализа состоит в нахождении небольшого числа факторов (компонент), линейные комбинации которых хорошо описывают наблюдаемые (измеренные) параметры, а также в определении коэффициентов соответствующих линейных комбинаций (так называемых факторных нагрузок). Модель компонентного анализа записывается в виде:

Xj — cijiFi -j- • • • Н- яjnFni

где Xj — j-й параметр, aJl5 a,2, ... ajn — коэффициенты, Fx, F2, ... Fn—г-я компонента.

Коэффициенты aji можно представить в виде матрицы факторных нагрузок:

А = || aJt || .

Все компоненты Fx, ... F„ — предполагаются невзаимосвязанными. Каждая очередная компонента вносит максимальный вклад в суммарную дисперсию параметров, оставшихся после учета предыдущих компонент (см. Вероятностей теория). Обычно на небольшое число (т « n) первых компонент приходится достаточно большой процент суммарной дисперсии, то есть именно эти компоненты достаточны для адекватного описания изучаемых объектов, а величина Хц = = anFt 4- • • • ajmFm может служить хорошей моделью параметра Х}.

Для определения матриц факторных нагрузок и факторных «весов» (значений факторов на изучаемых объектах) используются соответствующие приемы компонентного анализа.

Задача методов собственно факторного анализа состоит в определении небольшого набора факторов, объясняющих корреляции, существующие между параметрами. Модель факторного анализа записывается в виде:

X/ — djlFi + . . . + OimFm~\-d jU j, где все характерные факторы U (;'= 1,2 ... п), связанные со спецификой параметров, должны быть некоррелированными ни между собой, ни с общими факторами (Ft ... Fm). Поиск матрицы факторных нагрузок осуществляется путем экстремизации некоторого критерия, полностью определяемого этой матрицей и различающегося в различных методах факторного анализа. Все критерии строятся на сопоставлении матриц выборочных и вычисленных по модели факторного анализа коэффициентов корреляции параметров, но если в одних методах (напр., методе минимальных остатков) требуется заранее оценить число общих факторов, то в других (например, метод главных факторов) оценки общностей должны быть получены заранее, а число общих факторов определяется в процессе анализа.

Изначально методы факторного анализа использовались в психологии, где с их помощью проверялась гипотеза о том, что весь спектр интеллектуальных способностей человека определяется одним или несколькими факторами. Эти методы использовались и для конструирования небольшого набора тестов, описывающих интеллектуальную деятельность. Затем методы факторного анализа нашли применение в области клинической медицины, особенно в кардиологии. Метод главных компонент широко используется в социально-экономических исследованиях.

См. также Математические методы.

Библиогр.: Жуковская В. М. и Мучник И. Б. Факторный анализ в социально-экономических исследованиях, М., 1976; И б е р л а К. Факторный анализ, пер. с нем., М., 1980; Окунь Я. Факторный анализ, пер. с польск., М., 1974; Харман Г. Современный факторный анализ, пер. с англ., М., 1972.

П. О. Авен.