СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ — процессы, протекание которых во времени частично пли полностью непредсказуемо. Теория Случайных процессов служит для построения количественных моделей реальных процессов, в т. ч. для прогнозирования их будущих значений на основе текущей информации и априорных данных, для выделения полезной информации при наличии помех, оценки неизмеряемых параметров и др.

В медицине большое число процессов (напр., процесс размножения опухолевых клеток, число вызовов скорой помощи и др.) определяется столь большим количеством неконтролируемых факторов, что адекватное их описание и анализ целесообразно проводить в рамках теории Случайных процессов.

Математически Случайные процессы представляют собой такие функции времени, значение к-рых в каждый момент является случайной величиной (см. Вероятностей теория). Каждому элементарному случайному событию при этом соответствует нек-рая определенная неслучайная функция времени, называемая реализацией, или траекторией, С. п. Свойства реализаций служат основным предметом исследования теории С. п. Эти свойства выражаются вероятностью нек-рых событий (напр., выхода траекторий за фиксированный уровень, попадание в заданную область, наличие или отсутствие скачков в заданном интервале времени и др.). В рамках теории С. п. решаются также некоторые статистические задачи (напр., задачи фильтрации, экстеро- и интерополяций).

В общем случае принято считать, что случайный процесс задан (т. е. задание сформулировано), когда определены все совместные функции распределения значений процесса для любого конечного набора моментов времени; функции распределения носят название конечномерных функций распределения.

Другими неслучайными функциями, связанными с С. п., являются m{t) — математическое ожидание С. п., характеризующее среднее по множеству наблюдений значение С. п., и R (ti, t2) — корреляционная функция, характеризующая степень зависимости значений С. п. в разные моменты времени (см. Корреляционный анализ).

Основные классы случайных процессов. Учитывая большое разнообразие С. п., из всей их совокупности выделены отдельные классы и для каждого класса разработаны свои методы исследования.

Стационарные С. п. — это С. п., в к-рых все конечномерные функции распределения ие меняются при сдвиге времени на фиксированную величину. Стационарные С. п. обладают рядом характерных свойств: среднее значение стационарного С. п. в каждый момент одно и то же, а корреляционная функция R(t1,t2), зависит лишь от разности между моментами времени t1 и t2. С. п. этого типа могут быть представлены суммой, или интегралом, гармонических колебаний, амплитуды и фазы к-рых являются случайными величинами. Интенсивности гармонических составляющих образуют спектр С. п. Частным случаем стационарных С. п. является эргодический стационарный С. п.: в рамках этого метода по одной единственной реализации С. п. можно восстановить все его вероятностные характеристики. В частности. для каждой траектории эргодического случайного процесса среднее по времени равно математическому ожиданию С. п.

Гауссовские С. п. — это С. п., в к-рых все конечномерные функции распределений являются гауссовскими. Для его задания необходимы только две функции — математическое ожидание m (t) и корреляционная функция R(t1, t2).

Марковские С. п. обладают следующим свойством: для любого момента времени будущее процесса зависит только от его состояния в данный момент времени и не зависит от его предыстории. Для задания марковского С. п. достаточно знать лишь одномерные функции распределения и вероятности перехода из одного состояния в другое. Марковские С. п. образуют большой класс процессов, к-рый включает в себя марковские С. п. с независимыми приращениями, диффузионные С. п., скачкообразные марковские С. п., ветвящиеся С. п. и др.

Количество различных классов С. п., применяемых при математическом моделировании реальных явлений, постоянно увеличивается в соответствии с потребностями практики. В медико-биол. практике С. п. используются в основном в теоретических исследованиях, что связано со сложностью математического аппарата, применяемого при анализе С. п. Основатель кибернетики Винер (N. Wiener) с помощью теории стационарных С. п. в 1961 г. исследовал ритмы биотоков головного мозга. Позже С. п. нашли применение при количественных исследованиях в нейрофизиологии и кардиологии (стационарные и диффузионные С. п.), онкологии (марковские случайные процессы размножения и гибели), в эпидемиологии и здравоохранении.

См. также Массового обслуживания теория.

Библиография: Балантер Б. И. Вероятностные модели в физиологии, М., 1977; Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов, М., 1975; Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов, пер. с англ., М., 1961; Гихман И. И. и Скороход А. В. Теория случайных процессов, т. 2, М., 1973.

И. В. Тиме.